Forelesning 2 — Relevant risiko
2026-08-05
En investors avkastning er usikker — vi kjenner den ikke før etterpå
Vi modellerer fremtidig avkastning som en stokastisk variabel \(r\) med en sannsynlighetsfordeling
Avkastning måler hvor mye vi forventer å tjene; risiko måler hvor mye utfallet kan svinge rundt forventningen
Note
Mer forventet avkastning er bra, mer risiko er dårlig. Hele kurset handler om hvordan markedet bytter det ene mot det andre.
Vi beskriver fremtiden med mulige tilstander \(s\), hver med sannsynlighet \(p_s\) og avkastning \(r_s\).
| Tilstand | Sannsynlighet \(p_s\) | Avkastning \(r_s\) |
|---|---|---|
| Oppgang | 0,30 | 25 % |
| Normal | 0,50 | 10 % |
| Nedgang | 0,20 | \(-15\) % |
Sannsynlighetene må summere til 1. Ut fra denne fordelingen kan vi regne ut forventet avkastning og risiko.
Forventet avkastning er det sannsynlighetsvektede gjennomsnittet:
\[E(r) = \sum_s p_s\, r_s\]
Varians måler kvadrert avvik fra forventningen; standardavviket er roten av variansen:
\[Var(r) = \sum_s p_s\big(r_s - E(r)\big)^2, \qquad \sigma = \sqrt{Var(r)}\]
Tips
Standardavviket \(\sigma\) er i samme enhet som avkastningen (prosent) og er derfor det vanligste risikomålet for et enkeltaktivum.
Med tallene fra tabellen:
\[E(r) = 0{,}30(25) + 0{,}50(10) + 0{,}20(-15) = 9{,}5\,\%\]
Avvikene er \(25-9{,}5=15{,}5\), \(10-9{,}5=0{,}5\) og \(-15-9{,}5=-24{,}5\)
\(Var(r) = 0{,}30(15{,}5)^2 + 0{,}50(0{,}5)^2 + 0{,}20(-24{,}5)^2 = 192{,}25\)
\(\sigma = \sqrt{192{,}25} \approx 13{,}9\,\%\)
Aksjen har altså forventet avkastning på 9,5 % og en risiko (standardavvik) på om lag 13,9 %
Når vi har flere aktiva er det avgjørende hvordan de beveger seg sammen.
\[Kov(r_1, r_2) = E\big((r_1 - E(r_1))(r_2 - E(r_2))\big)\]
Korrelasjonen standardiserer kovariansen til intervallet \([-1, 1]\):
\[\rho_{12} = \frac{Kov(r_1, r_2)}{\sigma_1\,\sigma_2}\]
Det er ikke aktivumets egen risiko alene som betyr noe i en portefølje
Det som teller er hvordan aktivumet samvarierer med resten av porteføljen
Et aktivum som faller når alt annet stiger er verdifullt — det demper svingningene
Advarsel
Et høyrisikoaktivum kan redusere porteføljerisikoen hvis korrelasjonen med de øvrige aktiva er lav eller negativ. Risiko vurderes alltid i sammenheng.
Med vekter \(w_1\) og \(w_2\) (der \(w_1 + w_2 = 1\)) er forventet porteføljeavkastning et vektet gjennomsnitt:
\[E(r_p) = w_1 E(r_1) + w_2 E(r_2)\]
Variansen er derimot ikke et enkelt vektet gjennomsnitt — kovariansleddet kommer inn:
\[Var(r_p) = w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 + 2 w_1 w_2\,Kov(r_1, r_2)\]
La aktivum 1 ha \(E(r_1)=8\,\%\), \(\sigma_1=12\,\%\) og aktivum 2 ha \(E(r_2)=14\,\%\), \(\sigma_2=20\,\%\), med \(\rho_{12}=0{,}3\). Vi vekter 60/40.
\[E(r_p) = 0{,}6(8) + 0{,}4(14) = 10{,}4\,\%\]
Kovarians: \(Kov(r_1, r_2) = 0{,}3 \times 12 \times 20 = 72\)
\(Var(r_p) = 0{,}6^2(12^2) + 0{,}4^2(20^2) + 2(0{,}6)(0{,}4)(72)\)
\(Var(r_p) = 51{,}84 + 64 + 34{,}56 = 150{,}4 \Rightarrow \sigma_p \approx 12{,}3\,\%\)
Vektet gjennomsnitt av \(\sigma\) er \(0{,}6(12)+0{,}4(20)=15{,}2\,\%\) — porteføljen er altså mindre risikabel enn snittet
Gevinsten over kommer av at \(\rho_{12} < 1\). Dette er diversifisering.
Note
Så lenge korrelasjonen er mindre enn 1, er porteføljens standardavvik lavere enn det vektede gjennomsnittet av enkeltaktivaenes standardavvik.
Lavere korrelasjon gir sterkere diversifiseringseffekt
Med mange aktiva domineres porteføljevariansen av kovariansene, ikke av de enkelte variansene
“Ikke legg alle eggene i én kurv” — men hvor mye det hjelper avhenger av samvariasjonen
Varierer vi vektene \(w_1, w_2\) tegner kombinasjonene av forventet avkastning og risiko ut en kurve i \((\sigma, E(r))\)-rommet
Med flere aktiva fyller kombinasjonene ut et helt mulighetsområde
Investorer ønsker seg nordvest: høyest mulig forventet avkastning for gitt risiko, lavest mulig risiko for gitt forventet avkastning
Minimumvariansporteføljen (MVP)
Porteføljen med lavest mulig standardavvik
Bunnpunktet på kurven
Effisient front
Den øvre delen av kurven, fra MVP og oppover
Ingen annen portefølje gir mer avkastning til samme risiko
Tips
En rasjonell, risikoavers investor velger alltid en portefølje på den effisiente fronten — alt under er dominert.
Når vi legger til stadig flere aktiva, faller porteføljerisikoen — men bare til et visst punkt.
Usystematisk risiko
Bedriftsspesifikk (streik, produktfeil)
Kan diversifiseres bort
Forsvinner i en stor portefølje
Systematisk risiko
Markedsbred (rente, konjunktur)
Rammer alle aktiva samtidig
Kan ikke diversifiseres bort
Usystematisk risiko kan investoren fjerne gratis ved å diversifisere
Markedet betaler ingen risikopremie for risiko man enkelt kan kvitte seg med
Derfor prises kun den systematiske (ikke-diversifiserbare) risikoen
Et aktivums relevante risiko er dets bidrag til en veldiversifisert porteføljes risiko — målt ved beta \(\beta\)
Dette er kjernen i kapitalverdimodellen (KVM), som vi tar i neste forelesning
Advarsel
Et aktivums totale standardavvik er ikke den relevante risikoen for prising. Bare den delen som samvarierer med markedet blir belønnet.
Vi har sett at kun systematisk risiko er relevant og prises i markedet
Neste forelesning kobler dette til kapitalkostnaden: hvordan kapitalverdimodellen (KVM) oversetter beta til et avkastningskrav
\[E(r_j) = r_f + \beta_j\big[E(r_m) - r_f\big]\]