Forelesning 12 — Opsjoner I: grunnlag og kontantstrøm ved forfall
2026-08-05
En opsjon er en kontrakt som gir innehaveren retten, men ikke plikten, til å kjøpe eller selge et underliggende objekt til en avtalt pris innen et avtalt tidspunkt.
Det underliggende kan være en aksje, en valuta, en råvare, en obligasjon eller en indeks
Innehaveren (kjøperen) betaler en premie for denne retten
Utstederen (selgeren) mottar premien og påtar seg en plikt dersom innehaveren velger å innløse
Innehaveren innløser bare når det lønner seg — derfor kan en opsjon aldri ha negativ verdi ved forfall
Note
Kjernen ved en opsjon er asymmetrien: innehaveren har all oppside, men taper aldri mer enn premien. Utstederen har det motsatte.
Kjøpsopsjon (call)
Gir retten til å kjøpe det underliggende til innløsningskursen \(I\)
Innehaveren håper kursen stiger
Innløses når \(A_T > I\)
Salgsopsjon (put)
Gir retten til å selge det underliggende til innløsningskursen \(I\)
Innehaveren håper kursen faller
Innløses når \(A_T < I\)
Tips
Huskeregel: Call = Couple (kjøpe inn); put = «putte fra seg» (selge).
Innløsningskurs (strike), \(I\): den avtalte prisen i kontrakten
Forfall (forfallsdato), \(T\): siste tidspunkt opsjonen kan innløses
Underliggende kurs (aksjekurs) ved forfall, \(A_T\): markedskursen på objektet ved \(T\)
Premie (opsjonspris), \(K_0\) eller \(S_0\): prisen man betaler i dag for hhv. kjøps- og salgsopsjonen
Europeisk opsjon: kan kun innløses på forfallsdatoen
Amerikansk opsjon: kan innløses når som helst frem til og med forfall
Note
En amerikansk opsjon gir flere muligheter enn en europeisk og kan derfor aldri være verdt mindre. I denne forelesningen ser vi på kontantstrømmen (payoff) ved forfall, som er lik for begge typer.
Hver opsjon kan kjøpes (long) eller selges/utstedes (short). Det gir fire grunnposisjoner som alle andre strategier bygges av.
| Posisjon | Markedssyn | Kontantstrøm ved forfall | Maks tap |
|---|---|---|---|
| Kjøpt kjøpsopsjon (long call) | Sterkt opp | \(\max[0, (A_T-I)]\) | Premien \(K_0\) |
| Solgt kjøpsopsjon (short call) | Flat / ned | \(-\max[0, (A_T-I)]\) | Ubegrenset |
| Kjøpt salgsopsjon (long put) | Sterkt ned | \(\max[0, (I-A_T)]\) | Premien \(S_0\) |
| Solgt salgsopsjon (short put) | Flat / opp | \(-\max[0, (I-A_T)]\) | \(I\) (kursen til 0) |
Advarsel
Som utsteder (short) mottar du premien, men har potensielt store tap. En solgt kjøpsopsjon har i prinsippet ubegrenset tap, siden kursen kan stige uten øvre grense.
Vi skiller mellom to diagrammer:
Kontantstrøm ved forfall (payoff): verdien av opsjonen ved forfall, uten å trekke fra premien
Gevinst (profitt): kontantstrømmen minus premien betalt i dag (her ser vi bort fra rente på premien)
For en kjøpt kjøpsopsjon er:
\[\text{Kontantstrøm} = \max[0, (A_T-I)], \qquad \text{Gevinst} = \max[0, (A_T-I)] - K_0\]
Tips
Kontantstrømsdiagrammet starter alltid i null eller positivt. Gevinstdiagrammet er det samme, men forskjøvet ned med premien — det er dette som flytter break-even-punktet.
En kjøpt kjøpsopsjon (long call) med \(I = 100\). Tenk på den vannrette aksen som \(A_T\) og den loddrette som kontantstrømmen ved forfall.
| \(A_T\) | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Kontantstrøm \(=\max[0, (A_T-I)]\) | 0 | 0 | 0 | 10 | 20 | 30 |
Til venstre for \(I=100\) er kontantstrømmen flat på null (opsjonen er verdiløs)
Til høyre for \(I\) stiger kontantstrømmen 45 grader (én-til-én med \(A_T\))
Det er et tydelig knekkpunkt ved \(A_T = I\)
Note
Trekker vi fra premien (si \(K_0 = 5\)), faller hele linjen 5 nedover. Break-even er da ved \(A_T = I + K_0 = 105\).
En kjøpt salgsopsjon (long put) med \(I = 100\).
| \(A_T\) | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Kontantstrøm \(=\max[0, (I-A_T)]\) | 30 | 20 | 10 | 0 | 0 | 0 |
Til venstre for \(I=100\) faller kontantstrømmen med 45 graders helning når \(A_T\) synker — størst verdi når kursen er lav
Til høyre for \(I\) er kontantstrømmen flat på null
Maksimal kontantstrøm er \(I\) (oppnås når \(A_T = 0\))
Utstederens kontantstrøm er innehaverens kontantstrøm med motsatt fortegn — opsjoner er et nullsumspill mellom de to partene.
Solgt kjøpsopsjon (\(I=100\))
\(A_T = 90 \Rightarrow\) kontantstrøm \(= 0\)
\(A_T = 120 \Rightarrow\) kontantstrøm \(= -20\)
Flat opp til \(I\), deretter fallende
Solgt salgsopsjon (\(I=100\))
\(A_T = 120 \Rightarrow\) kontantstrøm \(= 0\)
\(A_T = 80 \Rightarrow\) kontantstrøm \(= -20\)
Stigende opp til \(I\), deretter flat
Advarsel
Mottatt premie gjør at short-posisjoner kan ha positiv gevinst selv om kontantstrømmen ved forfall er null eller negativ — men nedsiderisikoen er stor.
Før forfall kan opsjonspremien dekomponeres i to deler:
\[\text{Opsjonspremie} = \text{Indre verdi} + \text{Tidsverdi}\]
Indre verdi: kontantstrømmen dersom forfall var i dag. Kjøpsopsjon: \(\max[0, (A_0-I)]\). Salgsopsjon: \(\max[0, (I-A_0)]\)
Tidsverdi: alt det innehaveren betaler utover indre verdi — verdien av muligheten for at kursen beveger seg gunstig før forfall
Tidsverdien er alltid \(\ge 0\) og avtar mot null når vi nærmer oss forfall
Vi sier en kjøpsopsjon er in-the-money når \(A_0 > I\), at-the-money når \(A_0 = I\), og out-of-the-money når \(A_0 < I\) (motsatt for salgsopsjon).
| Faktor øker | Kjøpsopsjon (\(K_0\)) | Salgsopsjon (\(S_0\)) |
|---|---|---|
| Underliggende kurs \(A_0\) | \(\uparrow\) | \(\downarrow\) |
| Innløsningskurs \(I\) | \(\downarrow\) | \(\uparrow\) |
| Tid til forfall \(T\) | \(\uparrow\) | \(\uparrow\) |
| Volatilitet \(\sigma\) | \(\uparrow\) | \(\uparrow\) |
| Risikofri rente \(r_f\) | \(\uparrow\) | \(\downarrow\) |
Note
Volatilitet er den mest sentrale faktoren. Mer usikkerhet øker verdien av både kjøps- og salgsopsjoner, fordi asymmetrien gjør at innehaveren tjener på de gode utfallene, men ikke straffes ekstra av de dårlige.
Beskyttende salgsopsjon (protective put)
Eie aksjen + kjøpe en salgsopsjon
Salgsopsjonen fungerer som en «forsikring» med selvrisiko ned til \(I\)
Begrenser tapet, beholder oppsiden
Dekket kjøpsopsjon (covered call)
Eie aksjen + utstede en kjøpsopsjon
Mottar premie, gir bort oppside over \(I\)
Gir løpende inntekt i et flatt marked
Straddle: kjøp både en kjøpsopsjon og en salgsopsjon med samme \(I\) og \(T\). Lønner seg ved store kursbevegelser i en av retningene — et veddemål på høy volatilitet.
Du eier én aksje kjøpt til \(A_0 = 100\) og kjøper en salgsopsjon med \(I = 95\) for en premie \(S_0 = 4\). Samlet kontantstrøm ved forfall blir:
| \(A_T\) | Aksje | Salgsopsjon \(=\max[0, (95-A_T)]\) | Sum kontantstrøm | Gevinst \((-4)\) |
|---|---|---|---|---|
| 80 | 80 | 15 | 95 | 91 |
| 90 | 90 | 5 | 95 | 91 |
| 95 | 95 | 0 | 95 | 91 |
| 110 | 110 | 0 | 110 | 106 |
| 120 | 120 | 0 | 120 | 116 |
Tips
Salgsopsjonen gulvlegger verdien på \(I = 95\) uansett hvor lavt aksjen faller. Prisen for forsikringen er premien på 4 — derfor trekkes 4 fra i gevinstkolonnen. Du beholder hele oppsiden over 95.
En opsjon gir rett, ikke plikt — innehaveren innløser kun når det lønner seg
Kjøpsopsjon (call) = rett til å kjøpe (\(\max[0, (A_T-I)]\)); salgsopsjon (put) = rett til å selge (\(\max[0, (I-A_T)]\))
Fire grunnposisjoner: kjøpt/solgt \(\times\) kjøpsopsjon/salgsopsjon bygger alle strategier
Premie = indre verdi + tidsverdi; tidsverdien dør ut mot forfall
Verdien drives av \(A_0\), \(I\), \(T\), volatilitet og rente — volatilitet er nøkkelen
Kombinasjoner som beskyttende salgsopsjon, dekket kjøpsopsjon og straddle former risikoprofilen etter eget syn
I dag har vi sett hva en opsjon er verdt ved forfall. Neste forelesning spør hva den er verdt i dag.
Hvordan prise en opsjon før forfall?
Binomisk modell: replikering og risikonøytral prising
Veien mot Black–Scholes-formelen
Hvorfor arbitrasje og «no-free-lunch» binder premien
Note
Ta med intuisjonen om kontantstrømmen ved forfall og de fem verdifaktorene — de er byggesteinene for prisingen i forelesning 13.