Forelesning 13 — Opsjoner II: prising
2026-08-05
Forrige forelesning bygde intuisjon og struktur: hva en kjøpsopsjon (call) og en salgsopsjon (put) er, gevinstdiagrammer, og de fire grunnposisjonene
Nå spør vi det vanskelige spørsmålet: hva er en opsjon faktisk verdt i dag?
Vi skal se at prisen følger av et enkelt, men kraftig prinsipp — arbitrasjefrihet: to porteføljer med samme fremtidige kontantstrøm må koste det samme i dag
Dette er BMN kapittel 12.3
Note
Rød tråd: vi priser ikke opsjonen ut fra hva vi tror om fremtiden, men ved å kopiere utbetalingen med aksjer og lån. Da forsvinner sannsynlighetene — og det er hele poenget.
Underliggende og opsjon
\(A_0\) = dagens aksjekurs (\(A_T\) ved forfall)
\(I\) = innløsningskurs (exercise price)
\(K_0\) = verdien av en kjøpsopsjon i dag
\(S_0\) = verdien av en salgsopsjon i dag
Binomisk verden
\(ø\) = oppfaktor, \(n\) = nedfaktor (\(ø > 1 + r_f > n\))
\(r_f\) = risikofri rente per periode
\(q\) = sikringssannsynligheten for opp
Vi ser på europeiske opsjoner (innløses kun ved forfall) med mindre annet er sagt.
Før vi regner ut en eksakt pris, kan vi spikre fast noen grenser som må gjelde i et marked uten arbitrasje. For en kjøpsopsjon:
Ikke-negativ: \(K_0 \ge 0\) — en opsjon er en rettighet, ikke en plikt, så den kan aldri være verdt mindre enn null
Øvre grense: \(K_0 \le A_0\) — retten til å kjøpe aksjen kan ikke være verdt mer enn aksjen selv
Nedre grense: \(K_0 \ge A_0 - \dfrac{I}{1 + r_f}\) — en kjøpsopsjon er minst verdt aksjekursen fratrukket nåverdien av innløsningskursen
Egenverdi (innløsningsverdi)
For en kjøpsopsjon: \(\max[0,\, A_0 - I]\)
Det opsjonen ville gitt om den ble innløst i dag
En opsjon handles aldri under egenverdien — da ville arbitrasje vært mulig
Tidsverdi
\(K_0 - \max[0,\, A_0 - I]\)
Premien for muligheten for at kursen beveger seg gunstig før forfall
Øker med tid til forfall og med volatiliteten i underliggende
Tips
Mer tid og mer usikkerhet gjør en opsjon mer verdt — nedsiden er begrenset til premien, mens oppsiden er åpen. Dette er den asymmetrien all opsjonsprising hviler på.
To porteføljer med samme utbetaling ved forfall må ha samme pris i dag. Sett opp:
Portefølje A
Kjøp én kjøpsopsjon (\(K_0\))
Sett \(\dfrac{I}{1+r_f}\) i banken (risikofritt)
Verdi ved forfall: \(\max(A_T, I)\)
Portefølje B
Kjøp én salgsopsjon (\(S_0\))
Kjøp aksjen (\(A_0\))
Verdi ved forfall: \(\max(A_T, I)\)
Lik utbetaling i alle utfall gir \(K_0 + \dfrac{I}{1+r_f} = S_0 + A_0\), som omskrevet er salg-kjøp-pariteten (SKP, engelsk «put-call parity»):
\[K_0 - S_0 = A_0 - \frac{I}{1 + r_f}\]
Finne prisen på en opsjon når den andre er kjent: kjenner vi \(K_0\), \(A_0\) og \(r_f\), følger \(S_0 = K_0 + \dfrac{I}{1+r_f} - A_0\)
Oppdage arbitrasje: holder ikke likheten i markedet, kan man tjene en risikofri gevinst ved å kjøpe billig side og selge dyr side
Bygge syntetiske posisjoner: en aksje pluss en salgsopsjon oppfører seg som en kjøpsopsjon pluss et risikofritt innskudd — nyttig for sikring
En aksje handles i \(A_0 = 100\). Risikofri rente er \(r_f = 5\,\%\). En europeisk kjøpsopsjon med \(I = 100\) og ett års løpetid koster \(K_0 = 9\).
Nåverdien av innløsningskursen: \(\dfrac{I}{1+r_f} = \dfrac{100}{1{,}05} = 95{,}24\).
\[S_0 = K_0 + \frac{I}{1+r_f} - A_0 = 9 + 95{,}24 - 100 = 4{,}24\]
Advarsel
Om en megler tilbyr salgsopsjonen for \(3{,}50\), er den for billig relativt til pariteten. Da kjøper du salgsopsjonen og aksjen, selger kjøpsopsjonen og låner \(95{,}24\) — og låser inn en risikofri gevinst på \(0{,}74\) per opsjon.
Anta at aksjen i løpet av én periode enten går opp til \(ø A_0\) eller ned til \(n A_0\). Da har kjøpsopsjonen kun to mulige verdier ved forfall:
\[K_{ø} = \max[0,\, ø A_0 - I], \qquad K_{n} = \max[0,\, n A_0 - I]\]
Vi lager en replikerende portefølje av \(\Delta\) aksjer og et risikofritt lån \(B\) som gir nøyaktig samme to utbetalinger som opsjonen
Siden porteføljen og opsjonen gir identisk kontantstrøm, må de koste det samme i dag — ellers arbitrasje
Prisen på opsjonen er da prisen på den kopierende porteføljen
Løser vi for \(\Delta\) og \(B\) og samler leddene, kan opsjonsprisen skrives elegant med en sikringssannsynlighet (risikonøytral sannsynlighet) \(q\):
\[q = \frac{(1 + r_f) - n}{ø - n}, \qquad K_0 = \frac{q\,K_{ø} + (1 - q)\,K_{n}}{1 + r_f}\]
Note
\(q\) er ikke den virkelige sannsynligheten for at aksjen stiger. Det er den sannsynligheten som ville fått aksjens forventede avkastning til å bli akkurat \(r_f\). Vi diskonterer forventet utbetaling under \(q\) med risikofri rente.
Forutsetninger
\(A_0 = 100\)
Oppfaktor \(ø = 1{,}25\), nedfaktor \(n = 0{,}80\)
\(r_f = 5\,\%\) per periode
Innløsningskurs \(I = 100\)
Aksjekurs ved forfall
Opp: \(ø A_0 = 125\)
Ned: \(n A_0 = 80\)
Kjøpsopsjonens utbetaling opp: \(K_{ø} = \max[0,\, 125 - 100] = 25\)
Kjøpsopsjonens utbetaling ned: \(K_{n} = \max[0,\, 80 - 100] = 0\)
Vi finner først \(q\), deretter prisen.
Sikringssannsynlighet:
\[q = \frac{(1 + 0{,}05) - 0{,}80}{1{,}25 - 0{,}80} = \frac{0{,}25}{0{,}45} = 0{,}5556\]
Opsjonspris:
\[K_0 = \frac{0{,}5556 \times 25 + 0{,}4444 \times 0}{1{,}05} = \frac{13{,}89}{1{,}05} = 13{,}23\]
Tips
Legg merke til at vi aldri brukte den virkelige sannsynligheten for opp eller ned. Replikeringen gjør den irrelevant — det er kun \(ø\), \(n\), \(r_f\) og \(I\) som bestemmer prisen.
Samme svar via \(\Delta\) og \(B\). Sikringsforholdet:
\[\Delta = \frac{K_{ø} - K_{n}}{ø A_0 - n A_0} = \frac{25 - 0}{125 - 80} = 0{,}5556\]
Lånet som gir riktig nedside: \(B = \dfrac{K_{n} - \Delta\, n A_0}{1 + r_f} = \dfrac{0 - 0{,}5556 \times 80}{1{,}05} = -42{,}33\).
\[K_0 = \Delta\, A_0 + B = 0{,}5556 \times 100 - 42{,}33 = 13{,}23 \checkmark\]
Med flere perioder bygger vi et binomisk tre og regner oss bakover:
Finn opsjonsverdiene helt til høyre i treet (ved forfall), der de er gitt av \(\max[0,\, A_T - I]\)
Bruk samme formel \(K_0 = \dfrac{q K_{ø} + (1-q) K_{n}}{1 + r_f}\) i hver node, ett steg om gangen, fra forfall og tilbake til i dag
\(q\) og \(\Delta\) kan endre seg fra node til node, men logikken er identisk i hvert enkelt steg — dette kalles bakoverinduksjon
Lar vi antall perioder gå mot uendelig — mange små tidssteg i stedet for noen få store — konvergerer den binomiske prisen mot Black–Scholes-formelen:
\[K_0 = A_0\, N(d_1) - \frac{I}{(1+r_f)^T}\, N(d_2)\]
\(N(\cdot)\) er den kumulative normalfordelingen
\(N(d_1)\) spiller rollen til sikringsforholdet \(\Delta\)
Volatiliteten \(\sigma\) erstatter \(ø\) og \(n\) som mål på usikkerhet
Samme idé som binomisk: replikering og prising med sikringssannsynligheter
Note
Black–Scholes er ikke en ny teori, men grensetilfellet av binomisk prising når handelen skjer kontinuerlig. Intuisjonen fra én-periodemodellen bærer hele veien.
I et selskap med gjeld kan egenkapitalen ses som en kjøpsopsjon på selskapets eiendeler, med innløsningskurs lik gjeldsforpliktelsen \(G\):
Ved forfall, hvis eiendelsverdien \(V_T > G\): eierne betaler gjelden og beholder resten — utbetaling \(V_T - G\)
Hvis \(V_T < G\): eierne lar selskapet gå konkurs (begrenset ansvar) — utbetaling \(0\)
Eierne har altså \(\max[0,\, V_T - G]\) — nøyaktig en kjøpsopsjon på eiendelene med innløsningskurs \(I = G\)
Tips
Dette forklarer hvorfor eierne i et kriserammet selskap kan ønske mer risiko: høyere volatilitet i eiendelene øker opsjonsverdien av egenkapitalen — på långivernes bekostning.
Mange investeringsbeslutninger inneholder skjulte opsjoner som vanlig nåverdianalyse undervurderer:
Typer realopsjoner
Utsettelse: vente med å investere til usikkerhet oppklares (en kjøpsopsjon på prosjektet)
Utvidelse: skalere opp hvis det går bra
Avvikling: legge ned og selge eiendeler (en salgsopsjon)
Konsekvens
Fleksibilitet har positiv verdi når fremtiden er usikker
Et prosjekt med negativ tradisjonell nåverdi kan likevel være verdt å starte fordi opsjonen til å vente eller utvide er verdifull
Advarsel
Standard nåverdimetode antar et nå-eller-aldri-valg og overser fleksibiliteten. Opsjonstenkning fanger opp verdien av å kunne handle senere når man vet mer.
Opsjonsverdier er begrenset av arbitrasjefrie grenser — en kjøpsopsjon ligger mellom \(\max[0,\, A_0 - I/(1+r_f)]\) og \(A_0\), og består av egenverdi pluss tidsverdi
Salg-kjøp-pariteten (SKP) \(K_0 - S_0 = A_0 - \dfrac{I}{1+r_f}\) binder kjøps- og salgsopsjonen sammen og avslører arbitrasje
Binomisk prising kopierer opsjonen med aksjer og lån; sikringssannsynligheten \(q = \dfrac{(1+r_f)-n}{ø-n}\) gir prisen \(K_0 = \dfrac{q K_{ø} + (1-q) K_{n}}{1+r_f}\) — uten virkelige sannsynligheter
Black–Scholes er grensen av binomisk prising; egenkapital og realopsjoner er opsjoner i forkledning
Neste forelesning (14) er oppsummering og eksamenstrening: vi knytter sammen avkastningskrav, kapitalstruktur, dividendepolitikk og opsjoner, og regner oppgaver i eksamensformat
Repeter regneeksempelet på binomisk prising til du gjør det uten å tenke — finn \(q\) først, så \(K_0\)
Øv på salg-kjøp-pariteten begge veier: finn \(S_0\) gitt \(K_0\), og finn \(K_0\) gitt \(S_0\)
Les ferdig BMN kapittel 12 og noter spørsmål til repetisjonen