Løsningsforslag: Justert nåverdi
Til forelesning 8 · BMN kapittel 9
Regneoppgaver
Oppgave 1 — Ride-a-Bike
a) Kapitalkostnad basert på investeringsrisikoen. KVM (uttrykk 3.5) med investeringsbetaen gir kapitalkostnaden i et gjeldfritt selskap:
\[ k_U = r_f + \beta_I \left[ E(r_m) - r_f \right] = 0{,}04 + 1{,}2 \cdot (0{,}11 - 0{,}04) = 0{,}124 \]
Fasit: 12,4 %.
b) Investeringsverdien. Kontantstrømmen etter skatt (15 mill. pr. år i 3 år) diskonteres med \(k_U\), som om prosjektet var 100 % egenkapitalfinansiert:
\[ \text{NNV(investeringen)} = -36 + 15 \cdot \frac{1 - 1{,}124^{-3}}{0{,}124} = -36 + 35{,}78 = -0{,}22 \]
Fasit: NNV ≈ −0,22 mill. kroner. Basert på investeringsverdien alene er prosjektet ikke lønnsomt.
c) Nåverdien av finansieringen. Bokførtbasert gjeldskapasitet betyr at gjelden er 50 % av bokført verdi av investeringen. Med lineære avskrivninger på \(36/3 = 12\) mill. pr. år faller bokført verdi fra 36 til 24 og 12, og gjelden nedbetales i takt med den. Lånerenten er risikofri rente, 4 %.
| (mill. kroner) | År 0 | År 1 | År 2 | År 3 |
|---|---|---|---|---|
| Bokført verdi | 36 | 24 | 12 | 0 |
| Gjeld (50 %) | 18 | 12 | 6 | 0 |
| Renter (4 %) | 0,72 | 0,48 | 0,24 | |
| Renteskattegevinst (\(s = 28\ \%\)) | 0,2016 | 0,1344 | 0,0672 |
Renteskattegevinsten diskonteres med lånerenten:
\[ \text{NV(finansieringen)} = \frac{0{,}2016}{1{,}04} + \frac{0{,}1344}{1{,}04^2} + \frac{0{,}0672}{1{,}04^3} = 0{,}38 \]
Fasit: ≈ 0,38 mill. kroner.
d) Justert nåverdi. JNV er summen av investeringsverdien og verdien av finansieringen (kap. 9.3):
\[ \text{JNV} = -0{,}22 + 0{,}38 = 0{,}16 \]
Fasit: JNV ≈ 0,16 mill. kroner. Prosjektet er lønnsomt når renteskattegevinsten regnes med — finansieringen redder et prosjekt som isolert sett er ulønnsomt.
e) Rentefritt serielån. Serielånet på 18 mill. har avdrag på \(18/3 = 6\) mill. pr. år og ingen renter. Uten renter blir det ingen renteskattegevinst, men selskapet får en subsidie: det mottar 18 mill. og betaler tilbake beløp som er verd mindre enn 18 mill. i nåverdi når de diskonteres med lånerenten selskapet ellers måtte betalt (4 %):
\[ \text{NV(rentefritt lån)} = 18 - 6 \cdot \frac{1 - 1{,}04^{-3}}{0{,}04} = 18 - 16{,}65 = 1{,}35 \]
\[ \text{JNV} = -0{,}22 + 1{,}35 = 1{,}13 \]
Fasit: JNV ≈ 1,13 mill. kroner. Det rentefrie lånet fyller hele gjeldskapasiteten på 18 mill., så renteskattegevinsten fra c) faller bort — men subsidien på 1,35 mill. er langt mer verd. Ride-a-Bike bør etablere seg i Heia kommune.
Oppgave 2 — Mahoti
a) Verdien av selskapet uten gjeld. Kontantstrømmen til eierne i et gjeldfritt selskap er overskuddet etter skatt, som er en evigvarende, stabil strøm:
| £ | |
|---|---|
| Salgsinntekter | 23 500 000 |
| Variable kostnader (60 %) | 14 100 000 |
| Overskudd før skatt | 9 400 000 |
| Skatt (28 %) | 2 632 000 |
| Overskudd etter skatt | 6 768 000 |
\[ V_U = \frac{6\ 768\ 000}{0{,}17} = 39\ 811\ 765 \]
Fasit: £39 811 765 (≈ £39,8 mill.).
b) Egenkapitalkostnaden med gjeld. M&M-2 med selskapsskatt (M&M63) gir:
\[ k_E = k_U + (k_U - k_G)(1 - s)\frac{G}{E} = 0{,}17 + (0{,}17 - 0{,}09) \cdot 0{,}72 \cdot 0{,}45 = 0{,}19592 \]
Fasit: 19,59 %.
c) Totalkapitalmetoden. Gjeldsgraden \(G/E = 0{,}45\) gir vektene \(w_E = 1/1{,}45 = 0{,}6897\) og \(w_G = 0{,}45/1{,}45 = 0{,}3103\). Totalkapitalkostnaden (uttrykk 3.9):
\[ k_T = w_E k_E + w_G k_G (1 - s) = 0{,}6897 \cdot 0{,}19592 + 0{,}3103 \cdot 0{,}09 \cdot 0{,}72 = 0{,}1552 \]
Fri kontantstrøm (FKS) er den samme som i a) — finansieringen påvirker ikke driften — så verdien av selskapet med gjeld blir:
\[ V = \frac{6\ 768\ 000}{0{,}1552} = 43\ 600\ 498 \]
Fasit: \(k_T = 15{,}52\ \%\) og \(V =\) £43 600 498 (≈ £43,6 mill.). (Kontroll med M&M63: \(V = V_U + sG = 39\ 811\ 765 + 0{,}28 \cdot 13\ 531\ 189 = 43\ 600\ 498\) — samme svar.)
d) Egenkapital og gjeld. Med \(G/E = 0{,}45\) er \(E = V/1{,}45\) og \(G = 0{,}45E\):
\[ E = \frac{43\ 600\ 498}{1{,}45} = 30\ 069\ 309, \qquad G = 0{,}45 \cdot 30\ 069\ 309 = 13\ 531\ 189 \]
Fasit: \(E =\) £30 069 309 og \(G =\) £13 531 189.
e) Egenkapitalmetoden. Kontantstrømmen til eierne er overskuddet etter skatt fratrukket renter etter skatt, og den diskonteres med \(k_E\):
\[ \text{KS til eierne} = 6\ 768\ 000 - 0{,}09 \cdot 0{,}72 \cdot 13\ 531\ 189 = 6\ 768\ 000 - 876\ 821 = 5\ 891\ 179 \]
\[ E = \frac{5\ 891\ 179}{0{,}19592} = 30\ 069\ 309 \]
Fasit: \(E =\) £30 069 309, og selskapsverdien blir \(V = E + G = 30\ 069\ 309 + 13\ 531\ 189 =\) £43 600 498 — nøyaktig samme verdi som med totalkapitalmetoden i c). De tre metodene (JNV, totalkapitalmetoden og egenkapitalmetoden) gir samme svar når de brukes konsistent.
Oppgave 3 — Kabal
a) Implisitt forutsetning. Ja. Når finanskonsulenten diskonterer alle årene med én og samme totalkapitalkostnad \(k_T = 6\ \%\), forutsetter han implisitt at gjeldsandelen målt i markedsverdi holdes konstant (60 %) gjennom hele prosjektets levetid — gjelden må altså løpende tilpasses verdien av prosjektet. I tillegg må prosjektet ha samme forretningsrisiko som selskapet for øvrig (det er oppgitt). Endrer forholdet mellom gjeld og verdi seg over tid, endres også \(k_E\) og dermed \(k_T\), og metoden med konstant diskonteringsrente blir upresis.
b) Verdien etter totalkapitalmetoden. Totalkapitalmetoden diskonterer fri kontantstrøm (FKS) — kontantstrømmen fra driften etter skatt, uavhengig av finansieringen. Avskrivningene er \(10/5 = 2\) mill. pr. år, så skatten blir \(0{,}28 \cdot (4 - 2) = 0{,}56\) mill. pr. år:
\[ \text{FKS} = 4 - 0{,}56 = 3{,}44 \text{ mill. pr. år} \]
\[ V = 3{,}44 \cdot \frac{1 - 1{,}06^{-5}}{0{,}06} = 3{,}44 \cdot 4{,}2124 = 14{,}49 \]
Fasit: prosjektet er verd ≈ 14,49 mill. kroner, som gir \(\text{NNV} = 14{,}49 - 10 = 4{,}49\) mill. kroner. Merk at gjeldskostnaden på 7 % og kapitalkostnaden \(k_U = 8\ \%\) ikke trengs her — totalkapitalkostnaden er oppgitt direkte.
Quizoppgaver — fasit
| Quiz | Svar | Begrunnelse |
|---|---|---|
| 1 | 13,1 % | \(k_E = k_U = r_f + \beta_I[E(r_m) - r_f] = 0{,}04 + 1{,}3 \cdot 0{,}07 = 0{,}131\). Uten gjeld er egenkapitalkostnaden lik \(k_U\). |
| 2 | 0,1176 mill. | Lån \(0{,}4 \cdot 8 = 3{,}2\); renter \(0{,}05 \cdot 3{,}2 = 0{,}16\) pr. år i 3 år (avdragsfritt); renteskattegevinst \(0{,}27 \cdot 0{,}16 = 0{,}0432\) pr. år. NV med 5 %: \(0{,}0432 \cdot \frac{1-1{,}05^{-3}}{0{,}05} = 0{,}1176\). |
| 3 | 1,4286 mill. | \(-8 + 4 \cdot \frac{1-1{,}131^{-3}}{0{,}131} = -8 + 9{,}4286 = 1{,}4286\), med \(k_U = 13{,}1\ \%\) fra quiz 1. |
| 4 | 1,5462 mill. | \(\text{JNV} = \text{NNV(investeringen)} + \text{NV(renteskattegevinsten)} = 1{,}4286 + 0{,}1176 = 1{,}5462\). |
| 5 | Ja | Prosjektet har positiv justert nåverdi og er derfor lønnsomt. |
| 6 | 0,864 mill. | Evigvarende gjeld: \(\text{NV} = sG = 0{,}27 \cdot 0{,}4 \cdot 8 = 0{,}864\) (renteskattegevinsten \(sk_GG\) i evig tid, diskontert med \(k_G\)). |
| 7 | 36,90 mill. | \(k_U = 0{,}02 + 1{,}3 \cdot 0{,}07 = 0{,}111\). Verdi \(= \frac{4}{0{,}111} + 0{,}864 = 36{,}04 + 0{,}86 = 36{,}90\). (Verdi, ikke netto nåverdi — investeringen på 8 skal ikke trekkes fra.) |
| 8 | £39 811 765 | Som regneoppgave 2 a): \(V_U = 6\ 768\ 000/0{,}17\). |
| 9 | 15,52 % | \(k_E = 0{,}17 + (0{,}17-0{,}09) \cdot 0{,}72 \cdot 0{,}45 = 0{,}19592\); \(k_T = 0{,}6897 \cdot 0{,}19592 + 0{,}3103 \cdot 0{,}09 \cdot 0{,}72 = 0{,}1552\). Som regneoppgave 2 b)–c). |
| 10 | \(V =\) £43 600 498; \(E =\) £30 069 309; \(G =\) £13 531 189 | Som regneoppgave 2 c)–d): \(V = 6\ 768\ 000/0{,}1552\), \(E = V/1{,}45\), \(G = 0{,}45E\). |
Annuitetene regnes raskt med kalkulator, f.eks. quiz 3: 3 [N] · 13,1 [I/Y] · 4 [PMT] · 0 [FV] · [PV] → −9,4286, og NNV \(= 9{,}4286 - 8 = 1{,}4286\). Samme mønster i oppgave 1 b) (3 [N] · 12,4 [I/Y] · 15 [PMT]) og oppgave 3 b) (5 [N] · 6 [I/Y] · 3,44 [PMT]).