Løsningsforslag: Obligasjoner og aksjer
Til forelesning 4 · BMN kapittel 4–5
Regneoppgaver
Oppgave 1 — obligasjonslån
Obligasjonsprisen er nåverdien av kontantstrømmen obligasjonen gir (uttrykk 5.1 i BMN): årlige kuponger på \(r_k \cdot M = 0{,}04 \cdot 1\ 000\ 000 = 40\ 000\) kroner i 8 år, pluss pålydende ved forfall, diskontert med markedsrenten \(r = 3\ \%\).
\[ P_0 = 40\ 000 \cdot \frac{1 - 1{,}03^{-8}}{0{,}03} + \frac{1\ 000\ 000}{1{,}03^{8}} = 280\ 788 + 789\ 409 = 1\ 070\ 197 \]
Fasit: kr 1 070 197.
Kupongrenten (4 %) er høyere enn markedsrenten (3 %), så prisen ligger over pålydende — akkurat som sammenhengen i del 5.3.4 i boken tilsier.
8 [N] · 3 [I/Y] · 40 000 [PMT] · 1 000 000 [FV] · [PV] → −1 070 197
Oppgave 2 — emisjon med tegningsretter
a) Ex-rights-kursen. Antall nye aksjer: \(m = 40\ 000\ 000 / 80 = 500\ 000\). Selskapsverdien etter emisjonen er verdien før pluss emisjonsbeløpet (uttrykk 5.7):
\[ P_x = \frac{100 \cdot 1\ 000\ 000 + 80 \cdot 500\ 000}{1\ 000\ 000 + 500\ 000} = \frac{140\ 000\ 000}{1\ 500\ 000} = 93{,}33 \]
Fasit: $93,33 pr. aksje.
b) Tegningsrettens verdi. Med \(N = n/m = 1\ 000\ 000/500\ 000 = 2\) gamle aksjer pr. ny gir uttrykk 5.9:
\[ T_n = \frac{P_0 - P_e}{N + 1} = \frac{100 - 80}{3} = 6{,}67 \]
Fasit: $6,67. (Kontroll: \(T_n = P_0 - P_x = 100 - 93{,}33 = 6{,}67\) — verdien av retten tilsvarer nøyaktig kursfallet, så gamle aksjonærers formue er upåvirket.)
c) Anna får én tegningsrett pr. gammel aksje: 20 tegningsretter. Siden \(N = 2\), gir de rett til å tegne \(20/2 = 10\) nye aksjer.
d) Hun kjøper 10 nye aksjer til emisjonskursen: \(10 \cdot 80 = 800\). Fasit: $800.
e) Etter emisjonen eier Anna \(20 + 10 = 30\) aksjer av totalt \(1\ 500\ 000\): \(30/1\ 500\ 000 = 0{,}002\ \%\). Fasit: 0,002 % — nøyaktig samme eierandel som før emisjonen (\(20/1\ 000\ 000\)). Deltar hun fullt ut, verken vannes hun ut eller tjener på rabatten.
Flervalgsoppgaver — fasit
| Oppgave | Riktig svar | Begrunnelse |
|---|---|---|
| 1 | iv. 1 070 197 kroner | Som regneoppgave 1: \(r_k > r\) gir pris over pari. |
| 2 | ii. 932 673 kroner | \(30\ 000 \cdot \frac{1-1{,}04^{-8}}{0{,}04} + \frac{1\ 000\ 000}{1{,}04^{8}} = 201\ 982 + 730\ 690\). Nå er \(r_k < r\), så prisen er under pari. |
| 3 | iii. 5 % | Internrenten som løser \(870\ 736 = 30\ 000 \cdot \frac{1-(1+r)^{-8}}{r} + \frac{1\ 000\ 000}{(1+r)^{8}}\). Prøving (eller kalkulator) gir \(r = 5\ \%\). |
| 4 | ii. 972 249 kroner | Som flervalg 2, men bare 3 år til forfall: \(30\ 000 \cdot 2{,}7751 + 888\ 996\). Kortere løpetid gir pris nærmere pari. |
| 5 | iii. 10 000 kroner | Halvårlig kupong: markedskonvensjonen (del 5.3.4) setter halvårsrenten til \(5\,\%/2 = 2{,}5\ \%\) — lik kupongrenten pr. termin. Da er prisen lik pålydende. (Alternativ ii, 9 573, er prisen hvis markedsrenten hadde vært 6 % — eksempel 5.1 i boken.) |
| 6 | i. 1 | Nye aksjer: \(20\ 000\ 000/40 = 500\ 000\); forholdet gamle/nye er \(500\ 000/500\ 000 = 1\). |
| 7 | iii. 5 kroner | \(T_n = \frac{P_0 - P_e}{N+1} = \frac{50-40}{2} = 5\). (Kontroll: \(P_x = 45\ 000\ 000/1\ 000\ 000 = 45\), og \(P_0 - P_x = 5\).) |
| 8 | ii. 45 kroner | Ex-rights-kursen fra kontrollen i flervalg 7. |
| 9 | iii. 100 aksjer | Med forhold 1:1 må aksjonæren tegne like mange nye som han eier gamle for å beholde eierandelen. |
Samme tastetrykk som i regneoppgave 1, med [N], [I/Y], [PMT] og [FV] byttet ut med oppgavens tall. For flervalg 3 legges prisen inn som negativ [PV], og [I/Y] gir markedsrenten.