Løsningsforslag: Risiko

Til forelesning 4–5 · BMN kapittel 5–6

Regneoppgaver

Oppgave 1 — terminstruktur

Treårsplasseringen må gi samme avkastning enten du plasserer i én treårsobligasjon eller i en toårsobligasjon fulgt av ett år til forwardrenten (uttrykk 5.3/5.4 i BMN):

\[ (1 + {}_0r_3)^3 = (1 + {}_0r_2)^2 (1 + {}_2f_3) \]

\[ {}_2f_3 = \frac{(1 + {}_0r_3)^3}{(1 + {}_0r_2)^2} - 1 = \frac{1{,}05^3}{1{,}045^2} - 1 = \frac{1{,}157625}{1{,}092025} - 1 = 0{,}0601 \]

Fasit: ≈ 6 % (nøyaktig 6,01 %).

Terminstrukturen er stigende, og da må forwardrenten ligge over treårs-spotrenten — den «drar opp» gjennomsnittet fra 4,5 % til 5,0 %.

Oppgave 2 — systematisk risiko

a) Tabellen. I en verden uten skatt bestemmes investeringsbetaen av risikoen i selskapets investeringer, ikke av finansieringen: \(\beta_I\) er konstant lik 1,2 for alle gjeldsgrader (uttrykk 6.1). Gjeldsbetaen er 0 opp til gjeldsgrad 0,75 og øker deretter med 0,05 for hver kvart enhets økning i gjeldsgraden. Egenkapitalbetaen følger av uttrykk 6.2/6.3:

\[ \beta_E = \beta_I + (\beta_I - \beta_G)\,\frac{G}{E} \]

\(G/E\)	\(\beta_I\)	\(\beta_G\)	\(\beta_E\)	\(\beta_E\) uten konkursrisiko (\(\beta_G = 0\))
0,00	1,2	0,00	1,20	1,20
0,25	1,2	0,00	1,50	1,50
0,50	1,2	0,00	1,80	1,80
0,75	1,2	0,00	2,10	2,10
1,00	1,2	0,05	2,35	2,40
1,25	1,2	0,10	2,58	2,70
1,50	1,2	0,15	2,78	3,00
1,75	1,2	0,20	2,95	3,30
2,00	1,2	0,25	3,10	3,60
2,25	1,2	0,30	3,23	3,90
2,50	1,2	0,35	3,33	4,20
2,75	1,2	0,40	3,40	4,50
3,00	1,2	0,45	3,45	4,80

(Eksempel for \(G/E = 1{,}5\): \(\beta_E = 1{,}2 + (1{,}2 - 0{,}15) \cdot 1{,}5 = 2{,}78\).)

b) Figuren. Med gjeldsgrad langs førsteaksen og beta langs andreaksen viser figuren:

• \(\beta_I\): en horisontal linje på 1,2 — forretningsrisikoen påvirkes ikke av finansieringen.
• \(\beta_G\): lik 0 opp til gjeldsgrad 0,75, deretter en stigende rett linje (stigningstall 0,2 pr. enhet gjeldsgrad) opp til 0,45 ved gjeldsgrad 3.
• \(\beta_E\): en rett linje fra 1,2 med stigningstall 1,2 opp til gjeldsgrad 0,75; deretter knekker kurven og stiger slakere, fordi kreditorene overtar en del av den systematiske risikoen når gjelden ikke lenger er risikofri.
• Uten konkursrisiko (\(\beta_G = 0\) hele veien) fortsetter \(\beta_E\) som den rette linjen \(\beta_E = 1{,}2\,(1 + G/E)\) helt til 4,8 ved gjeldsgrad 3.

Summen av risikoen er konstant

Uansett gjeldsgrad er den veide summen av \(\beta_E\) og \(\beta_G\) lik \(\beta_I = 1{,}2\) (uttrykk 6.1): eierne og kreditorene deler den samme forretningsrisikoen mellom seg — mer gjeld flytter bare risiko over på kreditor, den fjerner den ikke. Dette er oppgave 6.5 i læreboken, som også viser figuren.

Oppgave 3 — risiko og kapitalstruktur

a) Gjeldsgraden. Antall aksjer er \(750\ 000\ 000 / 2{,}50 = 300\ 000\ 000\), så markedsverdien av egenkapitalen før investeringen er \(300\ 000\ 000 \cdot 15 = 4\ 500\) mill. kroner. Prosjektet har netto nåverdi 0 og finansieres med 100 mill. i ny egenkapital og 100 mill. i gjeld. Selskapsverdien etter investeringen er dermed \(4\ 500 + 200 = 4\ 700\) mill., fordelt på \(E = 4\ 600\) mill. og \(G = 100\) mill.

\[ \frac{G}{E} = \frac{100}{4\ 600} = 0{,}022 \]

Fasit: gjeldsgrad ≈ 0,022.

b) Egenkapitalkostnaden. Uten skatt stiger avkastningskravet til egenkapitalen lineært med gjeldsgraden (uttrykk 7.5). Gjeldsbetaen er 0, så gjeldskostnaden er risikofri rente, \(k_G = r_f = 2\ \%\), og egenkapitalkostnaden i det gjeldfrie selskapet var \(k_U = 14\ \%\):

\[ k_E = k_U + (k_U - k_G)\,\frac{G}{E} = 0{,}14 + (0{,}14 - 0{,}02) \cdot 0{,}022 = 0{,}1426 \]

Fasit: 14,26 %.

c) Totalkapitalkostnaden. Prosjektet har samme risiko som selskapet, og uten skatt påvirker ikke finansieringen totalkapitalkostnaden — den bestemmes av forretningsrisikoen alene:

\[ k_T = w_E\, k_E + w_G\, k_G = \frac{4\ 600}{4\ 700} \cdot 0{,}1426 + \frac{100}{4\ 700} \cdot 0{,}02 = 0{,}14 \]

Fasit: 14 % — uendret. Den høyere egenkapitalkostnaden i b) oppveies nøyaktig av at en (liten) del av kapitalen nå er billigere gjeld.

d) Kupongrenten. Når obligasjonen utstedes til pålydende (pari), må kupongrenten være lik markedsrenten: \(r_k = r = 5\ \%\). Fasit: 5 %. (Var kupongrenten lavere enn 5 %, ville prisen ligget under pari — og omvendt, jf. sammenhengen i del 5.3.4.)

Quizoppgaver — fasit

Oppgave	Riktig svar	Begrunnelse
1	6,00 kroner	Selskapet er 100 % egenkapitalfinansiert (120 000 aksjer à kr 50 = 6 mill.), så overskuddet pr. aksje er OFR delt på antall aksjer: \(360\ 000/120\ 000 = 3{,}00\) eller \(900\ 000/120\ 000 = 7{,}50\). \(E(OPA) = \frac{1}{3} \cdot 3{,}00 + \frac{2}{3} \cdot 7{,}50 = 6{,}00\).
2	2,12 kroner	\(Var(OPA) = \frac{1}{3}(3{,}00 - 6{,}00)^2 + \frac{2}{3}(7{,}50 - 6{,}00)^2 = 3{,}00 + 1{,}50 = 4{,}50\), så \(\sigma = \sqrt{4{,}50} = 2{,}12\).
3	Totalrisikoen	Standardavviket fanger opp all variasjon i overskuddet pr. aksje — både systematisk og usystematisk risiko.
4	Når selskapet (eller prosjektet) er finansiert med gjeld i tillegg til egenkapital	Renter er en fast betaling, så svingningene i driftsresultatet forsterkes i overskuddet til eierne. Er selskapet 100 % egenkapitalfinansiert, finnes bare forretningsrisiko.
5	0,43 (≈ 43 %)	Gjeldsgrad \(G/E = 0{,}75\) gir \(G = 0{,}75E\), så gjeldsandelen er \(\frac{G}{G+E} = \frac{0{,}75}{1{,}75} = 0{,}43\).
6	1,2	Investeringsbetaen bestemmes av risikoen i investeringene og er konstant over alle gjeldsgrader i en verden uten skatt — også ved gjeldsgrad 3.
7	Fordi kreditor begynner å bære konkursrisiko	Opp til gjeldsgrad 0,75 er gjelden risikofri. Ved videre opplåning må også kreditor bære en del av den systematiske risikoen, og krever en premie — gjeldsbetaen blir positiv.
8	\(\beta_E = \beta_I + (\beta_I - \beta_G)\,\dfrac{G}{E}\)	Uttrykk 6.2/6.3: egenkapitalbetaen er investeringsbetaen pluss et tillegg som vokser med gjeldsgraden.
9	At utfallet er usikkert	En risikabel investering er forventet å gi høyere avkastning enn risikofri rente, men avkastningen er ikke garantert — den kan bli både lavere og negativ.
10	Systematisk risiko	Beta måler samvariasjonen med markedsporteføljen. Usystematisk risiko kan diversifiseres bort og fanges ikke opp av beta.