Løsningsforslag: Opsjoner
Til forelesning 12–13 · BMN kapittel 12
Regneoppgaver
Oppgave 1 — grunnbegreper (12.1 i BMN)
a) En kjøpsopsjon (call) gir eieren rett, men ikke plikt, til å kjøpe det underliggende aktivumet til en avtalt innløsningskurs \(I\). En salgsopsjon (put) gir eieren rett, men ikke plikt, til å selge det underliggende til innløsningskursen. Utstederen av opsjonen har den motsvarende plikten dersom eieren velger å innløse.
b) En europeisk opsjon kan bare innløses på forfallsdagen \(T\). En amerikansk opsjon kan innløses når som helst frem til og med forfall.
c) Kjøp én aksje, kjøp én salgsopsjon og selg (utsted) én kjøpsopsjon med samme innløsningskurs \(I\) og samme forfall. Kontantstrømmen ved forfall:
| Posisjon | \(A_T < I\) | \(A_T \geq I\) |
|---|---|---|
| Aksje | \(A_T\) | \(A_T\) |
| Kjøpt salgsopsjon | \(I - A_T\) | \(0\) |
| Solgt kjøpsopsjon | \(0\) | \(-(A_T - I)\) |
| Sum | \(I\) | \(I\) |
I kontantstrømsdiagrammet blir summen en horisontal linje i høyden \(I\) — posisjonen gir \(I\) med sikkerhet, akkurat som en risikofri obligasjon med pålydende \(I\). Dette er innholdet i salg-kjøp-pariteten (uttrykk 12.5): aksje + salgsopsjon − kjøpsopsjon = risikofri plassering av \(I/(1 + r_f)\).
Oppgave 2 — kontantstrøm med salgsopsjon (12.2 i BMN)
Ved kjøpet 16.11.2015 betaler investoren for aksjene og opsjonspremien:
| Tidspunkt | Kontantstrøm |
|---|---|
| 16.11.2015: kjøp 100 aksjer à kr 109 | \(-10\ 900\) |
| 16.11.2015: opsjonspremie \(100 \cdot 4{,}50\) | \(-450\) |
| Sum 16.11.2015 | \(-11\ 350\) |
| 17.12.2015: innløser salgsopsjonen, selger 100 aksjer à kr 110 | \(+11\ 000\) |
Ved forfall er \(A_T = 108{,}80 < I = 110\), så salgsopsjonen er «in the money»: \(S_T = \max[0, (I - A_T)] = 1{,}20\) pr. aksje. Hun innløser og selger aksjene til kr 110 i stedet for markedskursen kr 108,80.
Fasit: −11 350 den 16.11.2015 og +11 000 den 17.12.2015, netto −350. Salgsopsjonen virket som forsikring: den betalte \(100 \cdot 1{,}20 = 120\), men kostet 450 — forsikringen var dyrere enn kursfallet den dekket.
Oppgave 3 — verdi ved forfall (12.3 i BMN)
Ved forfall er \(A_T = 140{,}50\):
\[ K_T = \max[0, (A_T - I)] = \max[0, (140{,}50 - 120)] = 20{,}50 \]
\[ S_T = \max[0, (I - A_T)] = \max[0, (115 - 140{,}50)] = 0 \]
Fasit: kjøpsopsjonen er verd kr 20,50, salgsopsjonen er verd kr 0. Samlet betalte du \(9{,}50 + 2{,}45 = 11{,}95\) og fikk 20,50 — en gevinst på kr 8,55.
Oppgave 4 — risikofri kombinasjon (12.4 i BMN)
Kombinasjonen fra oppgave 1c gir en sikker kontantstrøm lik innløsningskursen: kjøp én aksje, kjøp én salgsopsjon og selg én kjøpsopsjon (\(I = 125\)). Pr. enhet ved forfall 20. oktober:
| Posisjon | \(A_T = 110\) | \(A_T = 152{,}50\) |
|---|---|---|
| Aksje | \(110\) | \(152{,}50\) |
| Kjøpt salgsopsjon | \(15\) | \(0\) |
| Solgt kjøpsopsjon | \(0\) | \(-27{,}50\) |
| Sum | \(125\) | \(125\) |
For å få kr 125 000 trenger du 1 000 enheter: kjøp 1 000 aksjer, kjøp 1 000 salgsopsjoner og selg 1 000 kjøpsopsjoner. Investeringen i dag:
\[ 1\ 000 \cdot (118{,}70 + 7{,}40 - 4{,}40) = 121\ 700 \]
Fasit: kr 121 700 investert i dag gir sikre kr 125 000 den 20. oktober — en risikofri avkastning på \(125\ 000/121\ 700 - 1 = 2{,}71\ \%\) over perioden.
Oppgave 5 — salg-kjøp-paritet (12.5 i BMN)
Salg-kjøp-pariteten (uttrykk 12.5) knytter sammen prisene: \(K_0 - S_0 = A_0 - I/(1 + r_f)\). Med kontinuerlig rente diskonteres innløsningskursen med \(e^{-r_f T}\), der \(T = 1{,}5/12 = 0{,}125\) år:
\[ S_0 = K_0 - A_0 + I \cdot e^{-0{,}015 \cdot 0{,}125} = 9{,}50 - 123{,}90 + 120 \cdot 0{,}99813 = 5{,}38 \]
Fasit: salgsopsjonen burde omsettes for kr 5,38.
Oppgave 6 — binomisk prising (12.6 i BMN)
Oppfaktor og nedfaktor: \(\text{ø} = 1{,}50\) og \(n = 0{,}75\), slik at \(A_{\text{ø}} = 150\) og \(A_n = 75\). Kjøpsopsjonens verdi ved forfall (\(I = 105\)): \(K_{\text{ø}} = \max[0, (150 - 105)] = 45\) og \(K_n = \max[0, (75 - 105)] = 0\).
a) Sikringsforholdet — antall kjøpsopsjoner som må selges pr. aksje for å få en sikker portefølje:
\[ \frac{A_{\text{ø}} - A_n}{K_{\text{ø}} - K_n} = \frac{150 - 75}{45 - 0} = \frac{75}{45} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67 \]
Fasit: sikringsforholdet er 5/3 ≈ 1,67 — selg 5 kjøpsopsjoner for hver 3 aksjer du eier.
b) Sikringssannsynligheten:
\[ q = \frac{1 + r_f - n}{\text{ø} - n} = \frac{1{,}01 - 0{,}75}{1{,}50 - 0{,}75} = \frac{0{,}26}{0{,}75} = 0{,}3467 \]
\[ K_0 = \frac{q \cdot K_{\text{ø}} + (1 - q) \cdot K_n}{1 + r_f} = \frac{0{,}3467 \cdot 45}{1{,}01} = \frac{15{,}60}{1{,}01} = 15{,}45 \]
Fasit: kjøpsopsjonen er verd kr 15,45. (Kontroll: porteføljen «3 aksjer − 5 kjøpsopsjoner» er verd 225 ved forfall uansett utfall; nåverdien er \(225/1{,}01 = 222{,}77\), så \(300 - 5 K_0 = 222{,}77\) gir \(K_0 = 15{,}45\).)
Oppgave 7 — binomisk prising og prisgrenser (12.7 i BMN)
Begge fremtidige aksjekurser (200 og 115) ligger over innløsningskursen 110 — opsjonen innløses med sikkerhet, og laveste mulige verdi ved forfall er \(115 - 110 = 5\).
a) Opsjonen gir minst 5 med sikkerhet, og må derfor minst være verd nåverdien av 5: \(5/1{,}05 = 4{,}76\). Utsagnet er riktig — men det er bare en nedre grense, ikke likevektsprisen.
b) Med \(\text{ø} = 200/112 = 1{,}7857\) og \(n = 115/112 = 1{,}0268\):
\[ q = \frac{1{,}05 - 1{,}0268}{1{,}7857 - 1{,}0268} = 0{,}0306 \]
\[ K_0 = \frac{0{,}0306 \cdot 90 + 0{,}9694 \cdot 5}{1{,}05} = \frac{7{,}60}{1{,}05} = 7{,}24 \]
Fasit: kr 7,24. Prisen ligger over den nedre grensen fra a. Fordi opsjonen innløses uansett, er den i realiteten et kjøp av aksjen med utsatt betaling \(I\): \(K_0 = A_0 - I/(1 + r_f) = 112 - 104{,}76 = 7{,}24\).
c)
\[ \frac{A_{\text{ø}} - A_n}{K_{\text{ø}} - K_n} = \frac{200 - 115}{90 - 5} = \frac{85}{85} = 1 \]
Fasit: sikringsforholdet er 1 — selg én kjøpsopsjon pr. aksje. Når opsjonen alltid innløses, beveger opsjonsverdien seg krone for krone med aksjekursen.
Oppgave 8 — Beslag ASA (eksamensoppgave høst 2015)
Risikofri rente for firemånedersperioden: \(0{,}06 \cdot 4/12 = 2\ \%\). Oppfaktor og nedfaktor: \(\text{ø} = 100/80 = 1{,}25\) og \(n = 80/80 = 1\).
a) En økning i innløsningskursen reduserer kjøpsopsjonens verdi (retten til å kjøpe blir dyrere å bruke) og øker salgsopsjonens verdi (retten til å selge gir mer).
b) \(K_{\text{ø}} = \max[0, (100 - 90)] = 10\) og \(K_n = 0\).
\[ q = \frac{1 + r_f - n}{\text{ø} - n} = \frac{1{,}02 - 1}{1{,}25 - 1} = 0{,}08 \qquad K_0 = \frac{0{,}08 \cdot 10}{1{,}02} = 0{,}78 \]
Fasit: kr 0,78.
c) \(S_{\text{ø}} = 0\) og \(S_n = \max[0, (90 - 80)] = 10\).
\[ S_0 = \frac{(1 - q) \cdot S_n}{1 + r_f} = \frac{0{,}92 \cdot 10}{1{,}02} = 9{,}02 \]
Fasit: kr 9,02. (Kontroll med salg-kjøp-pariteten: \(K_0 - S_0 = 0{,}78 - 9{,}02 = -8{,}24 = 80 - 90/1{,}02 = A_0 - I/(1+r_f)\).)
d) Markedsprisen 0,52 er lavere enn likevektsprisen 0,78 — kjøpsopsjonen er underpriset. Kjøp den billige opsjonen og selg den replikerende porteføljen: sikringsforholdet viser at opsjonen svarer til \((K_{\text{ø}} - K_n)/(A_{\text{ø}} - A_n) = 10/20 = 0{,}5\) aksje. Kjøp én kjøpsopsjon (−0,52), selg 0,5 aksje short (+40) og plasser 39,48 risikofritt:
| I dag | \(A_T = 80\) | \(A_T = 100\) | |
|---|---|---|---|
| Kjøpt kjøpsopsjon | \(-0{,}52\) | \(0\) | \(+10\) |
| Solgt 0,5 aksje | \(+40\) | \(-40\) | \(-50\) |
| Risikofri plassering | \(-39{,}48\) | \(+40{,}27\) | \(+40{,}27\) |
| Sum | \(0\) | \(+0{,}27\) | \(+0{,}27\) |
Fasit: en sikker gevinst på kr 0,27 ved forfall pr. opsjon (nåverdi \(0{,}27/1{,}02 = 0{,}26 = 0{,}78 - 0{,}52\), altså nettopp feilprisingen).
Oppgave 9 — Miko ASA (eksamensoppgave vår 2016, forkortet)
a) En amerikansk kjøpsopsjon er en kontrakt som gir eieren rett, uten plikt, til å kjøpe en eiendel til avtalt pris når som helst i løpet av en spesifisert periode. Kjøpet skjer kun hvis opsjonseieren ønsker det.
b) Sjekk salg-kjøp-pariteten:
\[ K_0 - S_0 = 5{,}50 - 4{,}30 = 1{,}20 \qquad A_0 - \frac{I}{1 + r_f} = 77 - \frac{80}{1{,}008} = 77 - 79{,}37 = -2{,}37 \]
Venstre side er størst — kjøpsopsjonen er for dyr relativt til de andre papirene. Ja, det finnes en arbitrasjemulighet: selg det dyre og kjøp det billige — selg en kjøpsopsjon, kjøp en salgsopsjon, kjøp en aksje og lån nåverdien av innløsningskursen:
| I dag | Ved forfall | |
|---|---|---|
| Solgt kjøpsopsjon | \(+5{,}50\) | \(-\max[0, (A_T - 80)]\) |
| Kjøpt salgsopsjon | \(-4{,}30\) | \(+\max[0, (80 - A_T)]\) |
| Kjøpt aksje | \(-77\) | \(+A_T\) |
| Lån \(80/1{,}008\) | \(+79{,}37\) | \(-80\) |
| Sum | \(+3{,}57\) | \(0\) |
Uansett aksjekurs er posisjonen ved forfall verd nøyaktig 80 og lånet tilbakebetales med 80. Fasit: risikofri gevinst på kr 3,57 pr. aksje i dag.
Oppgave 10 — sikring med opsjoner (eksamensoppgave høst 2016)
a) Du bør kjøpe en salgsopsjon med innløsningskurs kr 78. Den gir deg rett til å selge aksjene til 78 uansett hvor langt kursen faller.
b) Ved \(A_T = 70\):
\[ \text{Opsjoner: } 100 \cdot \max[0, (78 - 70)] = 800 \qquad \text{Aksjer: } 100 \cdot 70 = 7\ 000 \]
Fasit: posisjonen er verd kr 7 800 — du taper ikke noe (bortsett fra opsjonspremien) selv om aksjekursen faller.
Oppgave 11 — Apollo ASA (eksamensoppgave vår 2017, forkortet)
a) Kjøp en aksje, selg en kjøpsopsjon og kjøp en salgsopsjon (samme \(I\) og forfall). Som i oppgave 1c gir kombinasjonen \(I\) med sikkerhet ved forfall — en risikofri investering.
b) Tremånedersrenten er \(4\ \%/4 = 1\ \%\). Med \(\text{ø} = 90/80 = 1{,}125\) og \(n = 75/80 = 0{,}9375\) er \(K_{\text{ø}} = \max[0, (90 - 80)] = 10\) og \(K_n = 0\):
\[ q = \frac{1{,}01 - 0{,}9375}{1{,}125 - 0{,}9375} = \frac{0{,}0725}{0{,}1875} = 0{,}3867 \qquad K_0 = \frac{0{,}3867 \cdot 10}{1{,}01} = 3{,}83 \]
Fasit: kr 3,83.
c) Salg-kjøp-pariteten gir
\[ S_0 = K_0 - A_0 + \frac{I}{1 + r_f} = 3{,}83 - 80 + \frac{80}{1{,}01} = 3{,}04 \]
Fasit: kr 3,04. (Kontroll direkte med binomialmodellen: \(S_0 = (1 - q) \cdot 5/1{,}01 = 0{,}6133 \cdot 5/1{,}01 = 3{,}04\).)
Oppgave 12 — Storfin (eksamensoppgave høst 2017)
\(\text{ø} = 1{,}15\) og \(n = 0{,}95\), så \(A_{\text{ø}} = 287{,}50\) og \(A_n = 237{,}50\). Sikringssannsynligheten:
\[ q = \frac{1 + r_f - n}{\text{ø} - n} = \frac{1{,}03 - 0{,}95}{1{,}15 - 0{,}95} = 0{,}40 \]
a) \(K_{\text{ø}} = \max[0, (287{,}50 - 250)] = 37{,}50\) og \(K_n = 0\):
\[ K_0 = \frac{0{,}40 \cdot 37{,}50}{1{,}03} = \frac{15}{1{,}03} = 14{,}56 \]
Fasit: kr 14,56.
b) \(S_{\text{ø}} = 0\) og \(S_n = \max[0, (250 - 237{,}50)] = 12{,}50\):
\[ S_0 = \frac{0{,}60 \cdot 12{,}50}{1{,}03} = \frac{7{,}50}{1{,}03} = 7{,}28 \]
Fasit: kr 7,28. (Kontroll med salg-kjøp-pariteten: \(K_0 - S_0 = 7{,}28 = 250 - 250/1{,}03\).)
c) Verdien av aksjer og kjøpsopsjoner ved forfall:
| Oppgang | Nedgang | |
|---|---|---|
| Aksjer: \(3\ 000 \cdot 287{,}50\) / \(3\ 000 \cdot 237{,}50\) | \(862\ 500\) | \(712\ 500\) |
| Kjøpsopsjoner: \(3\ 000 \cdot 37{,}50\) / \(3\ 000 \cdot 0\) | \(112\ 500\) | \(0\) |
| Sum | \(975\ 000\) | \(712\ 500\) |
Differansen på \(262\ 500\) må dekkes inn av salgsopsjoner, som er verd 12,50 hver ved nedgang: \(262\ 500/12{,}50 = 21\ 000\). Fasit: kjøp 21 000 salgsopsjoner — da er posisjonen verd 975 000 i begge utfall.
d) Investering i dag:
| Posisjon | Beregning | Verdi i dag |
|---|---|---|
| Aksjer | \(3\ 000 \cdot 250\) | \(750\ 000\) |
| Kjøpsopsjoner | \(3\ 000 \cdot 14{,}56\) | \(43\ 689\) |
| Salgsopsjoner | \(21\ 000 \cdot 7{,}28\) | \(152\ 913\) |
| Sum | \(946\ 602\) |
\[ \frac{975\ 000}{946\ 602} - 1 = 0{,}03 \]
Fasit: avkastningen er 3,00 % — nøyaktig risikofri rente. Rimelig: posisjonen er risikofri, og i et marked uten arbitrasje må en risikofri posisjon gi risikofri avkastning.
e) Salg-kjøp-pariteten knytter sammen verdien av europeiske salgs- og kjøpsopsjoner på samme aksje, gitt at opsjonene har samme innløsningskurs og samme gjenværende tid til forfall. I tillegg må aksjen ikke betale dividende i opsjonens løpetid, og markedet må være uten arbitrasjemuligheter.
Flervalgsoppgaver — fasit
Del 1 — grunnbegreper
| Oppgave | Riktig svar | Begrunnelse |
|---|---|---|
| 1 | iii. kr 20,50 | \(K_T = \max[0, (A_T - I)] = 140{,}50 - 120 = 20{,}50\). Premien er sunk cost ved forfall. |
| 2 | iii. 115,8 % | \(20{,}50/9{,}50 - 1 = 1{,}158\). Merk forsterkningen: aksjen steg langt mindre i prosent. |
| 3 | i. kr 0 | \(S_T = \max[0, (I - A_T)] = \max[0, (115 - 140{,}50)] = 0\). |
| 4 | i. −100 % | \((0 - 2{,}45)/2{,}45 = -1\). Hele premien er tapt. |
| 5 | ii | Kjøp aksje, selg kjøpsopsjon, kjøp salgsopsjon — gir \(I\) med sikkerhet (jf. regneoppgave 1c). |
| 6 | ii | En opsjon er en rett, ikke en plikt, til å kjøpe eller selge til fastsatt pris innen/på et bestemt tidspunkt. |
| 7 | ii | Amerikansk = kan innløses når som helst i perioden; alternativ i beskriver en europeisk opsjon. |
| 8 | iii. ca. kr 3,57 | \(K_0 - S_0 = 1{,}20 > A_0 - I/(1+r_f) = -2{,}37\). Selg kjøpsopsjon, kjøp salgsopsjon, kjøp aksje, lån \(80/1{,}008\): \(+3{,}57\) i dag, 0 ved forfall (jf. regneoppgave 9). |
| 9 | i. kr 0 | \(K_T = \max[0, (120 - 130)] = 0\). |
| 10 | iii. kr 10 | \(S_T = \max[0, (130 - 120)] = 10\). |
Del 2 — binomisk prising
| Oppgave | Riktig svar | Begrunnelse |
|---|---|---|
| 11 | iii. 1,67 | \((A_{\text{ø}} - A_n)/(K_{\text{ø}} - K_n) = 75/45 = 5/3\) (jf. regneoppgave 6a). |
| 12 | ii. kr 15,45 | \(q = 0{,}3467\); \(K_0 = 0{,}3467 \cdot 45/1{,}01 = 15{,}45\). Alternativ iii (15,60) er verdien uten diskontering. |
| 13 | i | Sikringsforholdet er antall kjøpsopsjoner som må selges pr. aksje for at porteføljen skal bli sikker. |
| 14 | ii | \(K_{\text{ø}}\) er kjøpsopsjonens verdi ved forfall når kursen har økt fra \(t=0\) til \(t=T\). |
| 15 | iii | Kjøp en salgsopsjon med innløsningskurs 78 — gulv under salgsprisen. |
| 16 | iii. kr 7 800 | Opsjoner \(100 \cdot \max[0, (78-70)] = 800\) pluss aksjer \(100 \cdot 70 = 7\ 000\) (jf. regneoppgave 10). |
| 17 | ii. kr 3,83 | \(q = 0{,}3867\); \(K_0 = 0{,}3867 \cdot 10/1{,}01 = 3{,}83\) (jf. regneoppgave 11b). Alternativ iii (3,87) glemmer diskonteringen. |
| 18 | ii. kr 3,04 | \(S_0 = K_0 - A_0 + I/(1+r_f) = 3{,}83 - 80 + 79{,}21 = 3{,}04\) (jf. regneoppgave 11c). |
| 19 | iv | Høyere \(I\) gjør retten til å selge mer verd og retten til å kjøpe mindre verd. |
| 20 | ii. kr 0,78 | \(q = 0{,}02/0{,}25 = 0{,}08\); \(K_0 = 0{,}08 \cdot 10/1{,}02 = 0{,}78\) (jf. regneoppgave 8b). Alternativ iv (9,02) er salgsopsjonens verdi. |
- Finn opsjonens verdi i hvert utfall: \(K_{\text{ø}}\) og \(K_n\) (eller \(S_{\text{ø}}\) og \(S_n\)).
- Beregn sikringssannsynligheten \(q = \dfrac{1 + r_f - n}{\text{ø} - n}\) med renten for perioden.
- Diskontér den forventede verdien: \(K_0 = \dfrac{q \cdot K_{\text{ø}} + (1-q) \cdot K_n}{1 + r_f}\).
Kontrollér gjerne svaret med salg-kjøp-pariteten \(K_0 - S_0 = A_0 - I/(1 + r_f)\) (uttrykk 12.5).