Opsjoner I: grunnlag og payoff

Hei og velkommen til forelesning 12 — kursets siste tema: opsjoner. I denne første videoen ser vi hva en opsjon er, de to grunntypene kjøpsopsjon og salgsopsjon, og begrepene vi trenger videre.

Vi skal nå snakke om opsjoner. Så, hva er en opsjon? Vel, kort forklart kan en opsjon defineres som en rett til å kjøpe eller selge noe til en fastsatt pris, innen eller på et bestemt tidspunkt i fremtiden. Det er altså retten, men ikke plikten. Ofte tenker vi på aksjer, men det underliggende kan også være valuta eller råvarer — egentlig hva som helst. Det klareste særtrekket ved opsjoner er at de gir en ensidig rett: kjøp eller salg skjer kun hvis opsjonseieren ønsker det. Det er denne asymmetrien dere ser i boksen nederst — innehaveren taper aldri mer enn premien, og derfor kan verdien ved forfall aldri bli negativ.

Det omsettes to typer opsjoner: kjøpsopsjoner og salgsopsjoner — på engelsk call og put. Opsjonene gir eieren rett til å kjøpe eller selge aksjen til en forhåndsavtalt kurs, og den kursen kaller vi innløsningskursen $I$. Her ser dere logikken i de to kolonnene: med en kjøpsopsjon håper du at kursen stiger, for du innløser bare når A T er høyere enn I — da kjøper du aksjen billigere enn markedsverdien. Med en salgsopsjon er det motsatt: du innløser når A T er lavere enn I, fordi du da kan selge til en høyere pris enn markedet gir. Ta med huskeregelen nederst — den sparer mange for forvirring senere.

La oss rydde i begrepene før vi begynner å regne. Innløsningskursen $I$ er den kontraktsspesifiserte kursen — kursen man kan kjøpe aksjen for i en kjøpsopsjon, eller selge den for i en salgsopsjon. $A_T$ er aksjekursen ved forfallstidspunktet $T$. Premien er det du betaler i dag: $K_0$ for kjøpsopsjonen og $S_0$ for salgsopsjonen. Merk skillet nederst: hvis opsjonen bare kan benyttes ved forfall, kalles den europeisk. Kan den innløses når som helst i kontraktsperioden, kalles den amerikansk. I disse videoene ser vi på kontantstrømmen ved forfall, og den er lik for begge typene — så skillet kommer først til å bety noe når vi priser opsjonene. I neste video ser vi på de fire grunnposisjonene — byggeklossene for alle opsjonsstrategier.

Hei! I denne videoen ser vi på de fire grunnposisjonene i opsjonsmarkedet, og vi tegner kontantstrømmene ved forfall for hver av dem.

Vi skal nå se på de fire grunnposisjonene. I en opsjonstransaksjon er det alltid en kjøper og en selger, altså en utsteder. Og husk: selgeren har ikke noe valg — det er kjøperen som bestemmer om opsjonen skal innløses. Her ser dere tabellen: kjøpt eller solgt, kombinert med kjøpsopsjon eller salgsopsjon, gir fire posisjoner, og alle andre strategier bygges av disse. Se spesielt på kolonnen for maks tap. Kjøperen taper aldri mer enn premien, men utstederen av en kjøpsopsjon har i prinsippet ubegrenset tap, siden aksjekursen kan stige uten øvre grense. Det er viktig her at premien er betalingen for å påta seg akkurat den risikoen.

Her må vi skille mellom to diagrammer, og dette er en klassisk kilde til forvirring. Kontantstrømmen ved forfall er verdien av opsjonen ved forfall — maksimum av null og A T minus I for en kjøpt kjøpsopsjon — uten å trekke fra premien. Gevinsten er kontantstrømmen minus premien du betalte i dag. Det vil si at premien er en kostnad som allerede er betalt, uansett hva som skjer ved forfall. Legg merke til break-even: for en kjøpt kjøpsopsjon går du i null først når A T er lik I pluss K null, ikke ved $I$. Resten av forelesningen tegner vi kontantstrømsdiagrammer, så hold de to begrepene fra hverandre.

Med de fire posisjonene på plass tegner vi nå kontantstrømsdiagrammene ved forfall, én posisjon om gangen.

La oss se på figuren for en kjøpt kjøpsopsjon. Det maksoperatoren gjør, er å vurdere om det lønner seg å innløse: kan du kjøpe aksjen billigere enn markedsverdien, bruker du retten din, og parentesen A T minus I er positiv. Er aksjekursen lavere enn innløsningskursen, gjør du ingenting — verdien er null. Her ser dere det i tabellen: flat på null til venstre for I lik 100, og så stiger den én-til-én, med et tydelig knekkpunkt der A T er lik I. Konkret: en kjøpsopsjon på Statoil med I lik 130 og kurs 149 ved forfall gir 149 minus 130, altså 19.

Så salgsopsjonen. Husk at den gir rettigheten til å selge til innløsningskursen, og jeg bruker den bare hvis jeg kan selge til en høyere pris enn markedsverdien $A_T$. Da er parentesen I minus A T positiv. Er kursen ved forfall høyere enn $I$, velger jeg å ikke gjøre noe, og utbetalingen er null. Som dere ser i tabellen er figuren speilvendt av kjøpsopsjonen: fallende 45 grader til venstre for I lik 100, flat på null til høyre. I Statoil-eksempelet hadde salgsopsjonen I lik 130, men markedsverdien var 149 — ikke et godt alternativ å bruke, altså verdi null. Merk at maksimal kontantstrøm er $I$, når aksjen går helt til null.

Nå snur vi perspektivet til utstederen. Poenget er enkelt: det innehaveren mottar, må utstederen betale. Kontantstrømmen har motsatt fortegn — utstederens kurve er innehaverens speilet om den vannrette aksen. Opsjoner er altså et nullsumspill mellom de to partene ved forfall. Her ser dere solgt kjøpsopsjon til venstre: flat opp til $I$, deretter fallende, og ved A T lik 120 må du ut med 20. Solgt salgsopsjon til høyre er stigende opp til $I$ og så flat. Så hvorfor utsteder noen i det hele tatt? Vel, de mottar premien i dag. Men merk advarselen: mottatt premie kan aldri veie opp for et ubegrenset tap hvis kursen løper. I neste video går vi fra forfall til i dag og ser på hva opsjonen er verdt før forfall.

Hei! I denne videoen går vi fra forfall til i dag: vi dekomponerer opsjonspremien i indre verdi og tidsverdi, ser på de fem verdidriverne, og setter til slutt grunnposisjonene sammen i klassiske strategier.

Vi skal nå gå fra forfall til i dag. Før forfall kan opsjonspremien dekomponeres i to deler: indre verdi og tidsverdi. Indre verdi er kontantstrømmen dersom forfall var i dag — for kjøpsopsjonen maksimum av null og A null minus I. Tidsverdien er alt du betaler utover dette. Det vil si verdien av muligheten for at kursen beveger seg gunstig før forfall. Et konkret eksempel: en kjøpsopsjon på Statoil med I lik 130 kostet 10,5 da aksjekursen var 131,40. Indre verdi var bare 1,40 — resten, 9,10, var ren tidsverdi. Og husk: tidsverdien er alltid ikke-negativ, og den dør ut mot null når vi nærmer oss forfall.

Her ser dere de fem faktorene som driver opsjonsverdien før forfall. La oss ta tabellen rad for rad: høyere aksjekurs $A_0$ løfter kjøpsopsjonen $K_0$ og senker salgsopsjonen $S_0$; høyere innløsningskurs $I$ virker motsatt. Lengre tid til forfall og høyere volatilitet løfter begge. Det viktige nå er volatiliteten. Så, hvorfor øker både kjøps- og salgsopsjonen i verdi av mer usikkerhet? Vel, det er asymmetrien igjen: maksoperatoren kapper nedsiden, så innehaveren tjener på de gode utfallene uten å straffes ekstra av de dårlige. Ta med dere dette som en liten cliffhanger — i neste forelesning ser vi at volatiliteten er selve kjernen i prisingen.

Nå som vi vet hva som driver verdien, kan vi sette grunnposisjonene sammen i noen klassiske strategier.

Grunnposisjonene kan settes sammen, og her ser dere tre klassiske strategier. Beskyttende salgsopsjon: du eier aksjen og kjøper en salgsopsjon. Det fungerer som en forsikring — du begrenser tapet ned til $I$, men beholder hele oppsiden. Dekket kjøpsopsjon er på en måte det motsatte: du eier aksjen og utsteder en kjøpsopsjon. Du mottar premien, men gir fra deg oppsiden over $I$ — det passer i et flatt marked. Og til slutt straddle: kjøp både en kjøpsopsjon og en salgsopsjon med samme $I$ og $T$. Da tjener du på store bevegelser i begge retninger — et rent veddemål på høy volatilitet. Det vil si at markedssynet ditt bestemmer strategien.

La oss se på et regneeksempel med beskyttende salgsopsjon. Du eier aksjen kjøpt til A null lik 100 og kjøper en salgsopsjon med I lik 95 for premien S null lik 4. Tenk gjerne selv: hva skjer ved A T lik 80? Mange venter et tap på 20. Men her ser vi: aksjen er verdt 80, salgsopsjonen gir maksimum av null og 95 minus 80, altså 15, så summen er 95. Salgsopsjonen gulvlegger altså verdien på 95, uansett hvor lavt aksjen faller. Prisen for forsikringen er premien på 4 — det er den som trekkes fra i gevinstkolonnen — og over 95 beholder du hele oppsiden. I neste og siste video oppsummerer vi det viktigste fra forelesningen.

Hei! I denne siste videoen fra forelesning 12 oppsummerer vi det viktigste om opsjoner ved forfall — og ser fremover mot prisingen.

La oss oppsummere det viktigste fra denne forelesningen. En opsjon er retten, men ikke plikten — og det er denne ensidige retten som gjør at kontantstrømmen ved forfall aldri blir negativ. Kjøpsopsjonen gir maksimum av null og A T minus I, salgsopsjonen maksimum av null og I minus A T — maksoperatoren er den matematiske beskrivelsen av at du bare innløser når det lønner seg. De fire grunnposisjonene bygger alle strategier, og husk skillet mellom kontantstrøm og gevinst: premien flytter break-even. Til slutt: premien består av indre verdi og tidsverdi, og volatiliteten er den mest sentrale verdidriveren. Sitter disse punktene, er dere klare for prisingen i neste forelesning.

Vi har nå sett hva opsjonen er verdt ved forfall. Neste gang spør vi hva den er verdt i dag. Vi skal da se på et viktig ikke-arbitrasje-argument, salg-kjøp-pariteten: hvis to porteføljer gir akkurat samme kontantstrømmer, må de ha samme pris. Og vi skal prise med den enkleste modellen, den binomiske opsjonsmodellen, der vi konstruerer en sikringsportefølje av aksjer og opsjoner som blir risikofri. Derfra går veien mot Black–Scholes. Ta med dere intuisjonen om kontantstrømmen ved forfall og de fem verdifaktorene — det er byggesteinene for prisingen. Vi ses!