Opsjoner II: prising

Hei og velkommen til forelesning 13: opsjonsprising. I denne første videoen ser vi på prinsippet bak all opsjonsprising — arbitrasjefrihet — vi rydder i notasjonen, og vi finner grensene en opsjonsverdi alltid må ligge innenfor.

I forrige forelesning så vi hva en kjøpsopsjon og en salgsopsjon er — retten, men ikke plikten, til å kjøpe eller selge. Vi skal nå stille det vanskelige spørsmålet: hva er en opsjon faktisk verdt i dag? Svaret bygger på ett prinsipp, nemlig arbitrasjefrihet. Hvis to porteføljer gir akkurat samme kontantstrømmer, så må de ha samme pris. Man bruker altså arbitrasjen til å si noe om prisen. Og legg merke til at vi ikke trenger å mene noe om fremtiden — vi kopierer utbetalingen med aksjer og lån, og da forsvinner sannsynlighetene. Dette er kapittel 12.3 i BMN.

La oss først rydde i notasjonen. Her ser dere $A_0$, som er dagens aksjekurs, og $A_T$, som er aksjekursen ved forfall — store T er forfallstidspunktet. $I$ er innløsningskursen, altså den kursen som er kontraktspesifisert. $K_0$ er verdien av en kjøpsopsjon i dag, og $S_0$ er verdien av en salgsopsjon. I den binomiske verdenen har vi oppfaktoren ø og nedfaktoren n, og vi krever at ø er større enn 1 pluss risikofri rente, som igjen er større enn n — ellers ville det vært arbitrasje. Til slutt har vi sikringssannsynligheten q, som vi kommer tilbake til. Og husk: vi ser på europeiske opsjoner, som kun kan innløses ved forfall.

Først: hva kan vi si om prisen helt uten en modell? Det finnes grenser den alltid må ligge innenfor.

Før vi regner ut en eksakt pris, kan vi si noe om hvilke grenser prisen må ligge innenfor. For det første kan en kjøpsopsjon aldri være verdt mindre enn null. Det er altså retten, men ikke plikten — du kan alltid velge å ikke bruke den. For det andre kan retten til å kjøpe aksjen aldri være verdt mer enn aksjen selv, så $K_0$ er høyst $A_0$. Og for det tredje har vi en nedre grense: aksjekursen minus nåverdien av innløsningskursen. Ligger markedsprisen utenfor disse grensene, finnes det en arbitrasjemulighet — og velfungerende markeder vil ikke ha arbitrasjemuligheter.

Vi deler gjerne opsjonsverdien i to deler. Egenverdien er det opsjonen ville gitt hvis du innløste den i dag — maks av null og A null minus I. Tidsverdien er resten, altså $K_0$ minus egenverdien. Så hva er det du betaler for der? Vel, du betaler for muligheten for at kursen beveger seg gunstig før forfall. Og her ser vi den grunnleggende asymmetrien: nedsiden din er begrenset til premien, mens oppsiden er åpen. Det vil si at mer tid og mer usikkerhet faktisk gjør opsjonen mer verdt. Dette poenget kommer igjen mot slutten, når vi snakker om egenkapital som opsjon. I neste video ser vi på salg-kjøp-pariteten — sammenhengen som knytter kjøps- og salgsopsjoner sammen.

Hei! I denne videoen ser vi på salg-kjøp-pariteten: sammenhengen som knytter kjøpsopsjoner og salgsopsjoner på samme aksje sammen — hva den brukes til, og hvordan den avslører arbitrasje i markedet.

Vi skal nå se på et viktig ikke-arbitrasje-argument, og det er det som kalles salg-kjøp-pariteten. Vi jobber med fire byggeklosser: aksjen, kjøpsopsjonen, salgsopsjonen og en risikofri plassering. Her ser dere to porteføljer. Portefølje A er en kjøpsopsjon pluss et bankinnskudd som vokser til innløsningskursen $I$ ved forfall. Portefølje B er en salgsopsjon pluss aksjen. Sjekk gjerne selv: i begge tilfeller blir verdien ved forfall maks av $A_T$ og $I$, uansett hvilken tilstand som inntreffer. Og kan man kopiere noe, i den forstand at det gir akkurat samme kontantstrømmer, så må de ha samme pris. Omskriver vi dette litt, får vi salg-kjøp-pariteten: kjøpsopsjonen minus salgsopsjonen er lik aksjen minus nåverdien av innløsningskursen.

Så hva bruker vi pariteten til? For det første til å finne priser: kjenner vi verdien av kjøpsopsjonen, kan vi finne verdien av salgsopsjonen med samme innløsningskurs og forfall — og motsatt. Dette kommer vi til å bruke aktivt, for jeg gir dere etter hvert formelen for kjøpsopsjonen, og da følger salgsopsjonen via pariteten. For det andre avslører pariteten arbitrasje: holder ikke likheten i markedet, kjøper du den billige siden og selger den dyre. Og for det tredje kan vi bygge syntetiske posisjoner — aksje pluss salgsopsjon oppfører seg som kjøpsopsjon pluss bankinnskudd. Merk at dette gjelder europeiske opsjoner på samme aksje.

La oss se på et eksempel. Aksjen handles i 100, risikofri rente er 5 %, og en kjøpsopsjon med innløsningskurs 100 koster 9. Første steg er nåverdien av innløsningskursen: 100 delt på 1,05, som er 95,24. Deretter bruker vi pariteten og løser for salgsopsjonen: 9 pluss 95,24 minus 100, altså 4,24. Så til advarselen nederst her: hvis en megler tilbyr salgsopsjonen for 3,50, er den for billig i forhold til pariteten. Da kjøper du den billige siden — salgsopsjonen og aksjen — selger den dyre siden, kjøpsopsjonen, og låner nåverdien av innløsningskursen. Da låser du inn en risikofri gevinst på 0,74. Det er arbitrasje i praksis. I neste video går vi fra grenser og sammenhenger til selve prisen: binomisk prising.

Hei! I denne videoen priser vi en opsjon for første gang, med den binomiske modellen: vi kopierer opsjonen med aksjer og lån, finner sikringssannsynligheten, og regner gjennom et komplett eksempel skritt for skritt.

Vi skal nå se på opsjonsprising, og vi bruker den enkleste modellen — den binomiske opsjonsmodellen. Anta at aksjen i løpet av én periode enten går opp til ø ganger A null, eller ned til n ganger A null. Da har kjøpsopsjonen bare to mulige verdier ved forfall: K ø hvis den går opp, og K n hvis den går ned — og ofte er K n rett og slett null. Idéen er så å sette sammen en portefølje av aksjer og et risikofritt lån som gir nøyaktig de samme to utbetalingene. Gir porteføljen og opsjonen identisk kontantstrøm, må de ha samme pris — ellers arbitrasje. Prisen på opsjonen er altså prisen på kopien.

Løser vi replikeringen og samler leddene, får vi et uttrykk som kan se litt stygt ut, men jeg skal vise i eksempelet at det ikke er så ille. Vi definerer sikringssannsynligheten q som 1 pluss risikofri rente minus nedfaktoren, delt på oppfaktoren minus nedfaktoren. Da er opsjonsprisen bare forventet utbetaling regnet med q, diskontert med risikofri rente. Og her er det viktig: q er ikke den virkelige sannsynligheten for at aksjen stiger. Det er den sannsynligheten som ville gitt aksjen en forventet avkastning lik akkurat $r_f$ — derfor kalles den også risikonøytral sannsynlighet. Litt sleivete sagt kan du si at vi later som om alle er risikonøytrale, og da kan vi diskontere med risikofri rente.

La oss se på et eksempel, skritt for skritt. Dagens kurs er 100, oppfaktoren er 1,25 og nedfaktoren 0,80 — det vil si at aksjen enten stiger til 125 eller faller til 80. Risikofri rente er 5 % per periode, og innløsningskursen er 100. Først regner vi ut opsjonens verdi ved forfall. Går aksjen opp, kan du kjøpe for 100 noe som er verdt 125 — det gir 25. Går den ned, vil du ikke bruke retten til å kjøpe for 100 når aksjen bare er verdt 80, så verdien er null. Det er maksoperatoren som gjør denne jobben for oss. Nå finner vi først q, deretter prisen.

Her er selve utregningen. Sikringssannsynligheten q er 1,05 minus 0,80 delt på 1,25 minus 0,80 — altså 0,25 delt på 0,45, som er 0,5556. Deretter tar vi forventet utbetaling under q: 0,5556 ganger 25 pluss 0,4444 ganger null, som er 13,89. Diskonterer vi med 1,05, får vi at $K_0$ er 13,23. Legg merke til hva vi ikke brukte: den virkelige sannsynligheten for opp eller ned. Spør gjerne deg selv — hva er sannsynligheten for at aksjen stiger? Vel, svaret er irrelevant for prisen. Replikeringen tar seg av all risikoen, og det er kun ø, n, $r_f$ og $I$ som bestemmer prisen.

La oss kontrollere svaret ved å bygge sikringsporteføljen eksplisitt. Sikringsforholdet delta er differansen mellom opsjonsverdiene opp og ned, delt på differansen mellom aksjekursene opp og ned — 25 delt på 45, som er 0,5556. Deretter finner vi lånet $B$ som gir riktig nedside, minus 42,33. Porteføljen med 0,5556 aksjer og dette lånet koster da 0,5556 ganger 100 minus 42,33 — altså 13,23, akkurat som før. Merk forresten at delta og q er like her, men det er en tilfeldighet ved akkurat disse tallene, ikke en regel. Poenget er at de to veiene alltid gir samme svar — det er samme arbitrasjeargument sett fra to sider. I neste video utvider vi til flere perioder — og ser hvordan det leder helt frem til Black–Scholes.

Hei! I denne siste videoen fra forelesning 13 oppsummerer vi det viktigste om opsjonsprising, og ser på veien videre mot repetisjonen og eksamen.

La oss oppsummere. For det første: opsjonsverdier er begrenset av arbitrasjefrie grenser, og består av egenverdi pluss tidsverdi. For det andre: salg-kjøp-pariteten knytter sammen europeiske kjøps- og salgsopsjoner på samme aksje med samme innløsningskurs og forfall — kjenner du den ene, har du den andre. For det tredje, og viktigst: binomisk prising kopierer opsjonen med aksjer og lån. Finn sikringssannsynligheten q først, så prisen — og husk at virkelige sannsynligheter aldri inngår. Og til slutt: Black–Scholes er grensen av binomisk prising, mens egenkapital og realopsjoner viser at opsjoner dukker opp mange steder i finansiell styring, ikke bare på børsen.

Da nærmer vi oss slutten på det nye stoffet i kurset. Neste forelesning er oppsummering og eksamenstrening, der vi knytter sammen avkastningskrav, kapitalstruktur, dividendepolitikk og opsjoner, og regner oppgaver i eksamensformat. Mitt råd til forberedelsene: repeter regneeksempelet på binomisk prising til det sitter — finn q først, så K null lik 13,23 — og kontroller gjerne med den replikerende porteføljen. Øv på salg-kjøp-pariteten begge veier: finn $S_0$ gitt $K_0$, og motsatt. Og bruk litt ekstra tid på egenkapital som opsjon — det binder opsjonsteorien tilbake til kapitalstrukturen fra tidligere i kurset, og er en yndet eksamensvinkling. Les ferdig kapittel 12, og noter spørsmål til repetisjonen. På kurssiden finner du dessuten prøveeksamener med automatisk retting og studieassistenten — begge er fine måter å teste deg selv på. Takk for oppmerksomheten, og vi ses.